Sur le principe de la condensation de singularités

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Soit $ {u_{pq}(x)} $ une suite double de fonctionnelles linéaires; si à tout p il correspond un x_p tel que l'on ait $ lim_{q → ∞} \text{sup} ||u_{pq}(x_p)|| = ∞ $, alors il existe un x (independant de p) remplissant toutes les relations $ lim_{q → ∞} \text{sup} ||u_{pq}(x)|| = ∞ $. Théorème: Soit $ {u_{pq}(x)} $ une suite double de fonctionnelles linéaires; si à tout p il correspond un $ x_p $ rendant divergente la suite simple $ {u_{pq}(x_p)}_{q → ∞} $, alors il existe un x (indépendant de p) qui rend divergentes toutes les suites simples $ {u_{pq}(x)}_{q → ∞} $.