The distribution of air bubble size in the pneumo-mechanical flotation machine

The flotation rate constant is the value characterizing the kinetics of cyclic flotation. In the statistical theory of flotation its value is the function of probabilities of collision, adhesion and detachment of particle from the air bubble. The particle - air bubble collision plays a key role since there must be a prior collision before the particle - air bubble adhesion happens. The probability of such an event to occur is proportional to the ratio of the particle diameter to the bubble diameter. When the particle size is given, it is possible to control the value of collision probability by means of the size of air bubble. Consequently, it is significant to find the effect of physical and physicochemical factors upon the diameter of air bubbles in the form of a mathematical dependence. In the pneumo-mechanical flotation machine the air bubbles are generated by the blades of the rotor. The dispergation rate is affected by, among others, rotational speed of the rotor, the air flow rate and the liquid surface tension, depending on the type and concentration of applied flotation reagents. In the proposed paper the authors will present the distribution of air bubble diameters on the grounds of the above factors, according to the laws of thermodynamics. The correctness of the derived dependences will be verified empirically.

Flotacja jest procesem masowym, o którego przebiegu decyduje szereg zdarzeń losowych. Są nimi zderzenia ziarna z pęcherzykiem powietrza oraz trwała adhezja ziarna do powierzchni pęcherzyka. Ze względu na losowy charakter wymienionych wyżej zdarzeń można mówić jedynie o prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia. Opisując subprocesy flotacji określonymi prawdopodobieństwami można wyznaczyć wartość stałej prędkości flotacji. Warunkiem koniecznym do zajścia adhezji jest uprzednie zderzenie ziarna z pęcherzykiem. W modelu opracowanym przez zespół Yoon i Luttrell (1989) prawdopodobieństwo zderzenia jest wyrażone wzorem (1). W praktyce flotacji wielkość ziarna i pęcherzyka są zmiennymi losowymi o określonych rozkładach. W związku z tym również prawdopodobieństwo zderzenia będzie zmienną losową o określonym rozkładzie. Istnieją modele w których stała prędkości flotacji jest wyrażona przez rozkłady wielkości ziaren i pęcherzyków (wzór 3). W tym przypadku do wyliczenia średniej wartości stałej prędkości flotacji niezbędna jest znajomości rozkładu wielkości pęcherzyków i wielkości ziarna. Również dla wyliczenia całkowitej powierzchni pęcherzyków przepływających przez jednostkę powierzchni przekroju poprzecznego w jednostce czasu, konieczna jest znajomość rozkładu wielkości pęcherzyków. W prezentowanej pracy przedstawiono sposób określenia rozkładu wielkości pęcherzyków w pneumo- mechanicznej maszynie flotacyjnej, oparty na rozważaniach heurystycznych. W procesie dyspergowania powietrza podawanego do komory flotacyjnej rośnie powierzchnia pęcherzyków powietrza, powstających z jednostki objętości gazu, co pociąga za sobą wzrost energii powierzchniowej na granicy faz ciecz-gaz. Założono, że duże bańki powietrza dzielą się na mniejsze pęcherzyki według prawa Boltzmanna rozkładu energii (wzory 10, 12 i 13). Przy założeniu, że energia pęcherzyków jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym, wyliczono funkcję gęstości rozkładu tej zmiennej, wyrażoną wzorem (16). Średnica pęcherzyka powietrza, a zarazem jego energia są zmiennymi losowymi, pomiędzy którymi istnieje zależność funkcyjna wyrażona wzorami (11). Korzystając z twierdzenia odnoszącego się do rozkładu funkcji zmiennych losowych (wzór 17) wyliczono funkcję gęstości rozkładu średnicy pęcherzyków (wzory 18 i 20). Jest to rozkład znany w rachunku prawdopodobieństwa jako rozkład Rayleigha. Na rys.1 podana jest empiryczna funkcja gęstości rozkładu średnicy pęcherzyka. Wartość średnią wielkości pęcherzyka d -b oraz odchylenie standardowe V(db) będące miarą rozrzutu wielkości pęcherzyków wokół wartości średniej zostały wyliczone na podstawie związku pomiędzy parametrem rozkładu Rayleigha a wartością średnią i wariancją (wzory 21 i 22). Dla uzyskania zależności parametru rozkładu oraz średniej wielkości pęcherzyka od warunków fizycznych i fizykochemicznych w komorze flotacyjnej zastosowano zasadę zachowania energii dla średniej wielkości pęcherzyków (wzory 23-27). Uzyskane wyrażenia na średnią wartość średnicy pęcherzyka oraz parametr rozkładu średnicy pęcherzyka (odpowiednio wzory 31 i 32) w sposób jawny podają zależność tych wielkości od napięcia powierzchniowego roztworu flotacyjnego, wydatku powietrza oraz mocy przekazywanej do układu flotacyjnego.