Influence of elastic material compressibility on parameters of the expanding spherical stress wave. I. Analytical solution to the problem

We investigated the influence of elastic material compressibility on parameters of the expanding spherical stress wave. The material compressibility is represented by Poisson’s ratio . The stress wave is generated by pressure created inside the spherical cavity. The isotropic elastic material surrounds this cavity. Analytical closed form formulae determining the dynamical state of mechanical parameters (displacement, particle velocity, strains, stresses, and material density) in the material have been derived. These formulae were obtained for surge pressure p(t) = p0 = const inside the cavity. From analysis of these formulae it results that Poisson’s ratio v substantially influences the course of material parameters in space and time. All parameters intensively decrease in space together with increase of the Langrangian coordinate r. On the contrary, these parameters oscillate versus time around their static values. These oscillations decay with a lapse of time. We can mark out two ranges of the parameter v values in which vibrations of the parameters are damped with a different degree. Thus, a decrease in Poisson’s ratio in the range v < 0.4 causes an intense decay of oscillation of parameters. On the other hand, in the range 0.4 < < 0.5, i.e. in quasi-compressible materials the damping of parameters vibrations is very low. In the limiting case when = 0.5, i.e. in the incompressible material damping vanishes, and the parameters harmonically oscillate around their static values. The abnormal behaviour of the material occurs in the range 0.4 < < 0.5. In this case an insignificant increment of Poisson’s ratio causes considerable an increase of the parameters vibration amplitude. The specific influence of Poisson’s ratio on the parameters of the expanding spherical stress wave in elastic media is the main result of this paper. As we see it, this fact may be the contribution supplementing the description of properties of the expanding spherical stress wave in elastic media.

Zbadano wpływ ściśliwości materiału, reprezentowanej przez współczynnik Poissona v, na parametry ekspandującej kulistej fali naprężeń, wywołanej ciśnieniem wewnątrz kulistej kawerny w nieskończonym izotropowym ośrodku sprężystym. Wyprowadzono zamknięte wzory określające dynamiczny stan mechanicznych parametrów (przemieszczenia, prędkości przemieszczenia, odkształcenia, naprężenia oraz gęstości materiału) w ośrodku dla stałego ciśnienia p(t) = p0 = const przyłożonego w sposób nagły. Z analizy tych wzorów wynika, że współczynnik Poissona wpływa zasadniczo na przebiegi tych parametrów w czasie i przestrzeni. Wszystkie parametry maleją intensywnie wraz ze wzrostem współrzędnej Lagrange’a r. Z drugiej strony, parametry te oscylują w czasie wokół ich wartości statycznych. Oscylacje te z czasem zanikają. Możemy wyróżnić dwa przedziały wartości parametru v, w których tłumienie oscylacji zachodzi z różną intensywnością. Tak więc dla v< 0.4 tłumienie jest bardzo intensywne. Natomiast w przedziale 0.4 < < 0.5, tzn. w materiałach quasi-ściśliwych, poziom tłumienia jest bardzo niski. W przypadku granicznym dla v = 0.5, tzn. dla materiałów nieściśliwych, tłumienie zanika i parametry mechaniczne oscylują wokół ich wartości statycznych. Ponadto w przedziale 0.4 < v < 0.5 można zaobserwować anormalne zachowanie materiału. Niewielki przyrost wartości współczynnika Poissona skutkuje znaczącym wzrostem amplitudy drgań parametrów. Opis szczególnego wpływu współczynnika Poissona na parametry ekspandującej kulistej fali naprężenia jest głównym rezultatem niniejszej pracy. Według autorów może ona być uzupełnieniem opisu właściwości ekspandującej kulistej fali naprężeń w ośrodku sprężystym.