Numerical solutions to boundary value problem for anomalous diffusion equation with Riesz-Feller fractional operator

In this paper, we present a numerical solution to an ordinary differential equation of a fractional order in one-dimensional space. The solution to this equation can describe a steady state of the process of anomalous diffusion. The process arises from interactions within complex and non-homogeneous background. We present a numerical method which is based on the finite differences method. We consider a boundary value problem (Dirichlet conditions) for an equation with the Riesz-Feller fractional derivative. In the final part of this paper, some simulation results are shown. We present an example of non-linear temperature profiles in nanotubes which can be approximated by a solution to the fractional differential equation.

W pracy zaprezentowano numeryczne rozwiązanie jednowymiarowego równania różniczkowego zwyczajnego niecałkowitego rzędu. Rozwiązanie tego równania może opisywać stan ustalony procesu anomalnej dyfuzji. Proces ten wynika z oddziaływań zachodzących w złożonych i niejednorodnych systemach. Zaprezentowana metoda numeryczna oparta jest na metodzie różnic skończonych. Rozważane było zagadnieriie brzegowe z warunkami Dirichleta dla tego równania z pochodną frakcjalną RieszaFellera. W końcowej części przedstawiono wyniki symulacji. Jako przykład zaprezentowano nieliniowy profil temperatury w nanorurkach, który może być przybliżony przez rozwiązanie frakcjalnego równania różniczkowego.